FC2ブログ

塾講師が公開!中学入試算数 塾技100

                                アンダンテさんのブログに「中学入試 算数 塾技100」が詳しく紹介されています。

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

算数塾技100 にも載せていない便利な公式

今回の算数塾技100補充問題は「塾技90」(四角数)で、東京学芸大附世田谷中、慶応義塾湘南藤沢中の問題。
(算数塾技100無料補充問題とは → コチラ

四角数はご石などを正方形の形に並べたときにできるご石などの総数のことで、平方数とも言います。

例えば、1辺に3個のご石が並ぶ正方形を作ったとすると、ご石の総数は3×3=9個となり、3番目の四角数は9となるわけです。

一般的に四角数が登場する図形の形としては正方形の形が多いわけですが、中には三角形の形状をしているものもあります。

算数塾技100では、塾技90で四角数について詳しく学ぶことになりますが、算数塾技100で取り上げた入試問題は4問とも正方形の形をしたもので、三角形の形をしたものは取り上げていませんでした。

そこで今回補充問題として、全体としては三角形の形状にもかかわらず四角数が現れるパターンの問題を2題取り上げました。

三角形の形状なので、パッと見ると三角数を思い浮かべてしまうかもしれませんが、四角数のもう1つの側面である「1から始まる連続した奇数の和」ということに注目すると四角数の利用にすぐ気づくはずです。

それではチャレンジ!
「塾技90」 四角数 東京学芸大附世田谷中・慶応義塾湘南藤沢中
※今までの補充問題のまとめはコチラ
※印刷がうまくいかないことがありましたら、コチラをご参照下さい。

今日は三角数と四角数と五角数の相互関係について、便利な公式の話をしたいと思います。三角数と四角数と五角数の間には、実は、

n番目の三角数+n番目の五角数=n番目の四角数×2

という関係が成り立っています。

例えば、1辺に3個のご石が並ぶ正三角形を作ったとすると、そのご石の総数は6個になります。つまり3番目の三角数は6です。また、上で書いたように3番目の四角数は9となります。さらに、1辺に3個のご石が並ぶ正五角形を作ったとすると、そのご石の総数は12個となります。つまり3番目の五角数は12です。

ではここで、3番目の三角数と3番目の五角数の和を求めると、6+12=18
そして3番目の四角数の9を2倍すると、9×2=18
“3番目の三角数+3番目の五角数=3番目の四角数×2” が成り立っていますね!

   三角数と四角数と五角数の公式

実はこれを利用すると、塾技90のチャレンジ入試問題で扱っている桜蔭中の問題にある10番目の五角数を求める問題は、次のように簡単に求めることができるのです。

10番目の五角数=10番目の四角数×2-10番目の三角数=200-55=145

この関係を知っていれば、入試で五角数が登場しても一瞬で解けてしまうことがよくありますので、難関中志望者は必ず覚えておきましょう!

ちなみに3番目の数でこれが成り立つ理由はわかりますか?これは、上の図で、五角数の外側の辺のご石3個を三角数にくっつけることで、2つの四角数ができることから示すことができます。どの3個かわかりますか?

以前のブログでもかきましたが、“技”は、なぜそれが成り立つかをしっかり理解した上で使いこなせるようにならなければ意味がないと私は考えます。

今回の公式も例えば4番目の数でも本当に成り立つのか。自分で4番目の三角数と四角数と五角数を作り考えてみましょう。ヒントは、五角数のある部分のご石を三角数にくっつけると2つの四角数ができます。

こういうことを実際に自分で行うことで、公式の本質も理解でき、単に丸暗記ではない“生きた知識”になります。そして生きた知識というものは、受験が終わっても一生忘れないものなのです。

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ 
↑ ↑ 応援クリックお願い致します!記事を書く大きな励みになります。
   いつもクリックしてくれる方、ありがとうございます



↑ ↑ こちらも様々な有用な情報満載です!




スポンサーサイト

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

http://jukuwazasansu.blog.fc2.com/tb.php/44-e53d45a4

 | HOME | 

プロフィール

森 圭示

Author:森 圭示
  ホームページ
 <中学入試 塾技シリーズ>
   2013年8月3日発売
    
   Amazonで購入
   楽天ブックスで購入
  
   2016年7月8日発売
    
   Amazonで購入
   楽天ブックスで購入


 <高校入試 塾技シリーズ>
   2011年10月1日発売
    
  Amazonで購入
  楽天ブックスで購入

   2016年7月8日発売
    
  Amazonで購入
  楽天ブックスで購入

 <高校入試 数学 瞬解60>
   2018年8月22日発売
    
   amazonで購入
   楽天ブックスで購入

最新記事

最新コメント

最新トラックバック

月別アーカイブ

カテゴリ

塾技100 (10)
算数塾技100 補充問題 (42)
一行問題演習 (6)
過去問の仕方 (1)
算数アドバイス (3)
受験アドバイス (3)
中学数学のアドバイス (1)
未分類 (8)
理科アドバイス (3)
塾技理科 (62)

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

このブログをリンクに追加する

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。